1947–1948 studierte Uncini am Istituto d`Arte in Urbino und kam 1953 nach Rom, das damals neben Mailand das wichtigste italienische Kunstzentrum in Auseinandersetzung mit internationalen Tendenzen darstellte und wo er die führenden Vertreter des italienischen Informel kennenlernte. Uncini schloss sich aber weder dieser Bewegung an noch fand er seine Intentionen in der Minimal-Art wieder. Eine Sonderstellung bei seinen Arbeiten nimmt stets die geometrische Form ein, seine Werke sollten außer der reinen Form und Präsenz keine Bedeutung haben. Die Auseinandersetzung mit der geometrischen Form zieht sich durch das gesamte Oeuvre des Künstlers.
So gründete er 1962 in Rom gemeinsam mit Gastone Biggi, Nicola Carrino, Achille Pace und Pasquale Santoro die Gruppo Uno mit dem Ziel, das Informel durch geometrische Formen und objekthafte Werkkonzepte zu überwinden. Das besondere Interesse der Gruppe galt der Beziehung zwischen Kunst und Wissenschaft, wobei neben traditionellen Materialien auch mit optischen Effekten experimentiert wurde. In den letzten Jahren ihrer Zusammenarbeit konzentrierten sich die Untersuchungen der Künstler auf die Beziehung zwischen Raum und Umgebung. Ihr letzter bedeutender Auftritt fand auf der Biennale von Venedig im Jahr 1966 statt, bevor sie sich 1977 als Gruppe auflösten. 1961–1983 war er als Dozent am Instituto d`Arte in Rom tätig. 1989 waren Unicinis Arbeiten im Rahmen der Biennale in Venedig zu sehen.
Innerhalb der Veränderung von der Repräsentation als Abbild des Realen zur Autonomie der Farben und Gegenstände seit den Konstruktivisten, dem sukzessiven Ausstieg aus dem Bild, der in den 1960er-Jahren unter anderem durch die Beeinflussung Lucio Fontanas, aber auch der Aktionskunst, der Happenings und der Beteiligung des Publikums stattfand, entwickelte Giuseppe Uncini ein gänzlich eigenständiges und neuartiges Werk. Er, der stets an der Schnittstelle von Zeichnung, Malerei, Skulptur und Architektur arbeitete, wollte seine Arbeit von der Materialschwere ebenso befreien wie von jeder genuinen Individualität. Unter Einbeziehung wissenschaftlicher Erkenntnisse, der Bedeutung des Lichts, der Beachtung des Schattens und der Entdeckung der Leere als Bestandteil von Skulptur oder Architektur stellte er ein Bewusstsein über das Zusammenspiel von Möglichem und Unmöglichem her. Da die Wissenschaft unsere Wahrnehmungsfähigkeit nicht regeln kann, lassen sich die Räume Uncinis sowohl physisch als auch konzeptuell definieren. Grundsätzlich wollte er keine Ideen darstellen oder vermitteln, sondern konstruierte Werke schaffen, die keine Bedeutung haben und nur rein durch ihre Erscheinung wirken sollen.
Darüber hinaus war Giuseppe Uncini der erste Bildhauer, der den Aspekt des Schattens als skulpturales Problem behandelte. Er wurde bei ihm zum Zeichen eines Raumes, der existiert und zugleich nicht existiert, zu einem Scheinraum, zu einem virtuellen Raum, den man nur sichtbar machen kann, indem er ihn materialisiert. 1988 wurde der Künstler mit dem Preis „Premio Antonio Feltrinelli per la Scultura“ von der Accademia Nazionale die Lincei in Rom geehrt und 1995 erhielt er den „Premio Presidente della Republica“ vom Palazzo del Quirinale in Rom. Der bedeutende Bildhauer aus Italien galt zweifellos als ein Wegbereiter für eine neue Form von Bildhauerei, durch den Einsatz von neuen Materialien, die im Kontrast zur klassischen Bildhauerei steht.